Civilisationens aritmetiska gåtor

2024 Författare: Seth Attwood | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-16 16:17

Under de senaste decennierna har det funnits en växande ström av studier som ställer tvivel om tillförlitligheten hos många historiska vetenskapspåståenden. Bakom dess ganska anständiga fasad finns ett mörker av fantasier, fabler och helt enkelt rena förfalskningar. Det gäller även matematikens historia.

Betrakta noga och partiskt figurerna av Pacioli och Archimedes, Luke och Leonardo, romerska siffror och den egyptiska triangeln 3-4-5, Ars Metric och Rechenhaftigkeit och mycket, mycket mer …

När lärde sig folk att räkna?

Vi kan lugnt säga att detta hände deras avlägsna förfäder, långt innan de blev homo sapiens. Aritmetik tränger in i alla aspekter av livet, även djur. Till exempel konstaterades det en kråka kan räkna till åtta. Om en kråka har sju ungar och en tas bort, kommer hon omedelbart att börja leta efter de saknade och räkna sina avkommor. Och efter åtta märker hon inte av förlusten. För henne är detta någon form av oändlighet. Det vill säga att varje varelse har någon form av numerisk gräns.

Det finns också bland människor som inte kan matematik. Detta återspeglades på olika språk, särskilt på ryska.

För bara sex till sju århundraden sedan var trupperna för de mest formidabla och segerrika asiatiska erövrarna tydligt uppdelade i divisioner bara upp till tusen personer … De leddes av befälhavare som kallades förmän, centurioner och tusentalsmän. Större militära enheter kallades "mörker" och de leddes av "temniki". Med andra ord betecknades de med ett ord som betyder "så många att det är omöjligt att räkna". Därför, när vi möter ett stort antal i Gamla testamentet eller i de "urgamla" krönikorna, till exempel 600 tusen män som Mose förde ut ur Egypten, är detta ett tydligt tecken på att siffran dök upp, med historiska mått, ganska nyligen.

Den riktiga vetenskapen om matematik började någonstans på 1600-talet. Dess grundare var Francis Bacon, engelsk filosof, historiker, politiker, empiriker (1561-1626). Han introducerade det som kallas erfarenhetsmässig kunskap. Vetenskapen skiljer sig från skolastik genom att varje uttalande, all kunskap är föremål för verifiering och reproduktion. Innan Bacon var vetenskapen spekulativ, på nivån med vissa logiska konstruktioner uttrycktes gissningar, hypoteser och teorier, men de testades aldrig. Så fysik och kemi som vetenskaper fram till 1600-talet fanns inte i modern mening … Samme Galileo Galilei (1564-1642), grundaren av experimentell fysik, klättrade upp på det lutande tornet i Pisa och kastade sten därifrån, och först då fick han reda på att Aristoteles hade fel när han sa att kroppar rör sig i en rak linje och jämnt. Det visade sig att stenarna rör sig med acceleration.

Aristoteles hävdade det inte för att han var lat med att kontrollera, utan för att inte ens de enklaste experimentella vetenskapliga metoderna ännu hade fötts. Vi betonar igen: ingen verifiering - ingen tillförlitlig kunskap.

Ett exempel, inte känt för alla. Det första verket om fysik i Kina publicerades 1920. Kineserna förklarar detta med det faktum att de i århundraden klarade sig utan det, eftersom de vägleddes av Konfucius (556-479 f. Kr.) lära. Och han satte sig ner och begrundade och drog upp allt, som Aristoteles, från luften. Att kolla Konfucius är bara ett slöseri med tid, anser kineserna. Detta är mycket misstänkt mot bakgrund av påståenden om att de var de första som uppfann papper, krut, kompass och en massa andra uppfinningar. Var kom allt detta ifrån om de inte hade någon vetenskap?

Således visar de allra första försöken att tro när och hur vissa vetenskapliga, inklusive matematiska resultat dök upp, att det finns många myter i vetenskapens historiaspeciellt när det gäller tid före uppfinningen av tryckning, vilket gjorde det möjligt att konsolidera vissa studiers historia på papper. En av dessa fabler, som vandrar från bok till bok, är myten om den egyptiska triangeln, det vill säga en rätvinklig triangel med sidor som motsvarar 3: 4: 5. Alla vet att detta är en myt, men det upprepas envist av olika författare. Han pratar om ett rep med 12 knop. En triangel viks från ett sådant rep: tre knop i botten, 4 på sidan och fem knop på hypotenusan.

Varför är en sådan triangel så underbar? Det faktum att det uppfyller kraven i Pythagoras sats, det vill säga:

3.2 + 4.2 = 5.2

Om så är fallet, är vinkeln vid basen mellan benen rätt. Utan att ha några andra verktyg, varken rutor eller linjaler, kan du alltså avbilda en rät vinkel ganska exakt.

Det mest fantastiska är att i ingen källa, i ingen studie finns det något omnämnande av den egyptiska triangeln. Den uppfanns av 1800-talets popularisatorer, som försåg antikens historia med några fakta om det matematiska livet. Under tiden fanns bara två manuskript kvar från det antika Egypten, där det finns åtminstone någon form av matematik. Detta är Ahmes Papyrus, en studieguide till aritmetik och geometri från Mellanrikesperioden. Den kallas också Rind-papyrusen vid namnet på dess första ägare (1858) och Moskvas metematiska papyrus, eller papyrusen av V. Golenishchev, en av grundarna av rysk egyptologi.

Ett annat exempel - "Occams rakkniv", en metodologisk princip uppkallad efter den engelske munken och nominalistfilosofen William Ockham (1285-1349). I en förenklad form lyder det: "Man ska inte multiplicera saker i onödan." Man tror att Occamah lade grunden för principen om modern vetenskap: det är omöjligt att förklara några nya fenomen genom att introducera nya entiteter, om de kan förklaras med hjälp av vad som redan är känt … Detta är logiskt. Men Occam har ingenting med denna princip att göra. Denna princip tillskrevs honom. Ändå är myten väldigt ihärdig. Det används i alla filosofiska uppslagsverk.

En annan fabel - om det gyllene snittet- att dela en kontinuerlig kvantitet i två delar i ett sådant förhållande där den mindre delen hänför sig till den större, eftersom den större hänför sig till hela mängden. Denna andel finns i den femuddiga stjärnan. Om du skriver det i en cirkel, så kallas det ett pentagram. Och det anses vara ett djävulskt tecken, en symbol för Satan. Eller tecknet på Baphomet. Men ingen säger det begreppet "gyllene snitt" myntades 1885av den tyske matematikern Adolph Zeising och användes först av den amerikanske matematikern Mark Barr, och inte av Leonardo da Vinci, som man säger överallt. Detta är, som de säger, en "klassiker av genren", ett klassiskt exempel på att beskriva det förflutna i moderna begrepp, eftersom ett irrationellt algebraiskt tal används här, en positiv lösning på en andragradsekvation - x.2 –x-1 = 0

Det fanns inga irrationella tal vare sig under Euklids era eller under da Vincis och Newtons era

Fanns det ett gyllene snitt förut? Säkert. Men hon kallas divina, det vill säga gudomlig proportion, eller djävulsk, enligt andra. Alla renässansens trollkarlar kallades djävlar. Det var inte tal om något gyllene snitt som term.

En annan myt är Fibonacci-siffror … Vi talar om en serie tal, där varje term är summan av de två föregående. Den är känd som Fibonacci-serien, och själva siffrorna är Fibonacci-nummer, efter namnet på den medeltida matematiker som skapade dem (1170-1250).

Men det visar sig att den store Johannes Kepler, den tyske matematikern, astronomen, optikern och astrologen, aldrig nämner dessa siffror. Det fullständiga intrycket att inte en enda matematiker från 1600-talet vet vad det är, trots att Fibonaccis verk "The Book of Abacus" (1202) ansågs mycket populärt under medeltiden och under renässansen och var det främsta för alla matematiker från den tiden… Vad är problemet?

Det finns en väldigt enkel förklaring. I slutet av 1800-talet, 1886, utkom i Frankrike Edouard Lucs underbara fyradelade bok "Underhållande matematik" för skolbarn. Det finns många utmärkta exempel och problem i det, i synnerhet det berömda pusslet om en varg, en get och en kål, som måste transporteras över floden, men så att ingen äter någon. Den uppfanns av Luca. Han uppfann också Fibonacci-talen. Han är en av skaparna av moderna matematiska myter som har blivit mycket väl etablerade i cirkulationen. Lukas mytbildning fortsatte i Ryssland av popularisatorn Yakov Perelman, som publicerade en hel serie sådana böcker om matematik, fysik, etc. Faktum är att dessa är fria och ibland bokstavliga översättningar av Lukas böcker.

Det ska sägas att det inte finns någon möjlighet att kontrollera antikens matematiska beräkningar. Arabiska siffror, (det traditionella namnet för en uppsättning av tio tecken: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; används nu i de flesta länder för att skriva siffror med decimalnotation), dyker upp mycket sent, vid 15-16-talsskiftet. Innan dess fanns det sk Romerska siffror som inte kan användas för att beräkna någonting.

Här är några exempel. Siffrorna skrevs så här:

888- DCCCLXXXV111, 3999-MMMCMXCIX

Etc.

Med ett sådant register kan inga beräkningar göras. De tillverkades aldrig. Men i det antika Rom, som existerade, enligt modern historia, ett och ett halvt tusen år, cirkulerade enorma mängder pengar. Hur räknades de? Det fanns inget banksystem, inga kvitton, inga texter relaterade till matematiska beräkningar finns. Varken från antikens Rom eller från tidig medeltid. Och det är tydligt varför: det fanns inget sätt att skriva matematiskt.

Som ett exempel ska jag ge hur siffrorna skrevs i Bysans. Upptäckten, enligt legenden, tillhör Raphael Bombelli, en italiensk matematiker och vatteningenjör. Han heter egentligen Matsolli (1526-1572). En gång gick han till biblioteket, hittade en matematisk bok med dessa anteckningar och publicerade den omedelbart. Förresten, Fermat skrev sitt berömda teorem på dess marginaler, eftersom han inte kunde hitta ett annat papper. Men det här är förresten.

Så skrivningen av ekvationen ser ut så här, (Det finns inga motsvarande ikoner på cybord, så jag skrev ner det på ett separat papper)

Denna metod för matematisk notation kan inte användas i beräkningar.

I Ryssland publicerades den första boken där det fanns någon form av matematik först 1629. Den kallades "The Book of Soshny Letter" och ägnades åt hur man mäter och beskriver markinnehav i städer och på landsbygden (inklusive mark och industrier) för statlig beskattning (konventionell skatteenhet - plogDet vill säga inte bara för skattetjänstemän, utan även för lantmätare.

Och vad visar sig? Begreppet rät vinkel existerade inte ännu … Det var nivån på vetenskapen.

En annan missuppfattning. Den store Pythagoras uppfann sitt teorem. Denna åsikt är baserad på informationen från räknaren Apollodorus (personen är inte identifierad) och på diktraderna (källan till verserna är inte känd):

Han bar upp ett härligt offer för honom av tjurar."

Men han studerade inte geometri alls. Han studerade ockulta vetenskaper. Han hade en mystisk skola, där i synnerhet ockult betydelse fästes vid siffror. De två ansågs vara kvinnor, de tre var manliga, siffran fem betydde "familj". Enheten ansågs inte vara ett nummer. Den försvarades av den holländska matematikern Simon Stevin (1548-1620) Han skrev boken "Den tionde" och i den bevisade han att ett är ett tal, och introducerade begreppet decimalbråk.

Vilka var siffrorna?

Vi upptäcker Euklid (cirka 300 f. Kr.), hans uppsats om matematikens grunder "Början". Och det finner vi matematiken kallades då "ARS METRIC" - "Konsten att mäta". där all matematik reduceras till att mäta segment, primtal används, det finns inget alternativ för division, multiplikation … Det fanns inga medel för att genomföra dem. Det finns inte ett enda verk från den eran där det skulle finnas beräkningar. Räkna på räknebrädan kulram.

Men hur beräknades broar, palats, slott, klocktorn? Aldrig. Alla huvudbyggnader som vi känner till dök upp efter 1600-talet.

Som ni vet grundades S:t Petersburg i Ryssland 1703. Endast tre byggnader har överlevt sedan dess. Under Peter 1 uppfördes inga stenbyggnader, främst lerhyddor av lera och halm. Peter utfärdade ett dekret, som talade specifikt om hyddor. Stenbyggnader byggdes faktiskt bara under Katarina II:s tid. Varför åkte det ryska folket till Europa på tsarens order? Att lära sig befästning, konstruktion, förmåga att göra matematiska beräkningar av byggnader och strukturer.

Vi har nyligen gjort beräkningar för Paris. Alla större byggnader byggdes på 1700- och 1800-talen. En av de första stenbyggnaderna i denna stad är Saint Chapel - Saint Chanel. Man kan inte titta på den utan tårar: krokiga väggar, krokiga stenar, inga räta vinklar, en grottstruktur, den äldsta i Paris från 1200-talet. Versailles byggdes på 1700-talet. Sedan, på platsen för Champs Elysees, fanns det ett getträsk.

Ta Kölnerdomen, som började byggas på medeltiden. Det blev färdigt på 1900-talet! Det gjordes med moderna metoder. Samma historia med Sacre Coeur, Basilica of the Sacred Heart. Denna katedral påstås ha skadats svårt under den stora franska revolutionen: statyer, målade glasfönster och så vidare krossades. Allt är återställt men detta gjordes på 1800- och även på 1900-talet. Alla franska antika byggnader har restaurerats med moderna metoder. OCH vi ser inte byggnaderna som var en gång, utan de som ser ut som moderna restauratörer föreställer sig.

Det samma gäller för Peter och Paul fästning I Petersburg. Den är gjord av glas och betong och ser väldigt snygg ut. Och går man in så finns det rum som har bevarats sedan Peter 1:s tid. Fruktansvärt usla rum, med väggar av kullersten, fästa med lera och halm, är praktiskt taget formlösa. Och det här är 1700-talet.

Historien om förbönkatedralen i Moskvas Kreml, även kallad St. Basil's Cathedral, är välkänd. Den kollapsade under bygget, eftersom det inte fanns några beräkningar och metoder för denna beräkning. Detta återspeglas i de skriftliga källorna. Därför bjöds italienska byggare in, och de började bygga både Kreml och alla andra byggnader. Och de byggde en till en i stil med italienska katedraler och palats. Italienarna hade något som gjorde en revolution inte bara inom byggandet, utan i hela civilisationen. De var skickliga i metoderna för matematiska beräkningar.

Aritmetik tyder tydligt på att utan kunskap om dessa metoder kommer inget värdefullt att byggas. Broar är komplexa tekniska strukturer, otänkbara utan preliminära beräkningar. Och tills sådana matematiska beräkningar utvecklades fanns det inga stenbroar i Europa. Det fanns pontoner av vattentyp av trä. 1:a stenbron i Europa - Karlsbron i Prag. Antingen 1300- eller 1400-talet. Den föll isär mer än en gång, för att stenen har ett utgångsdatum och för att beräkningarna förbättrades. Den första och sista stenbron i Moskva byggdes i mitten av 1800-talet. Den stod i 50 år och föll samman av samma anledningar.

Född, matematik gav upphov till inte bara modern vetenskap. Uppfinningen av arabiska siffror och positionsnumreringssystemet, positionsnumrering, när värdet av varje siffertecken (siffra) i nummerregistreringen beror på dess position (siffra), gjorde det möjligt att utföra beräkningar som vi fortfarande gör idag: addition - subtraktion, multiplikation - division. Systemet antogs mycket snabbt av köpmän, och resultatet blev en ökning av det finansiella systemet. Och när vi får veta att detta system uppfanns av tempelriddarna på 1200-talet, är det inte sant. För det fanns inga sådana sätt att hantera det på.

Men matematik födde mycket mer, som alltid händer med mänsklighetens största prestationer. Hon förvandlade 1500-talet till en mörk och olycklig era. Obskurantismens, häxkonstens, häxjakternas storhetstid. 1492 - inrättandet av inkvisitionen i Spanien, 1555 - inrättandet av inkvisitionen i Rom. Samtidigt försöker historiker övertyga oss om att inkvisitionen är en produkt från 13-15 århundradena. Inget sådant här. Varför kom allt detta till? Hur började det? Med en mani att räkna ut allt. De räknade till och med hur många djävlar som fick plats på änden av nålen. Och häxor bestämdes efter vikt: om en kvinna vägde mindre än 48 kg ansågs hon vara en häxa, eftersom hon, enligt inkvisitorerna, kunde flyga. Detta är 1500-talet. Där förekom till och med termen "beräkning-Reckenhaftigheit".

Som en kuriosa är det värt att notera att det århundradet gav oss något annat. Till exempel orden "Dator, skrivare, skanner" … Datorer kallades de som sysslade med beräkningar, det vill säga miniräknare. En skrivare är en person som är upptagen med boktryck, och en skanner är en korrekturläsare. Dessa betydelser har gått förlorade, och ord har återupplivats i vår tid med nya betydelser.

Samtidigt, 1532 visas vetenskapskronologi … Och detta är naturligt: medan det inte fanns några sätt att räkna, fanns det inga kronologiska beräkningar. Samtidigt börjar astrologin utvecklas, också baserat på beräkningar.… Det är nödvändigt att nämna och numerologi … De börjar se magi i siffror. Inom numerologi tilldelas vissa egenskaper, begrepp och bilder till varje ensiffrigt nummer. Numerologi användes i analysen av en persons personlighet för att bestämma karaktär, naturliga gåvor, styrkor och svagheter, förutsäga framtiden, välja den bästa platsen att bo på, bestämma den lämpligaste tiden för att fatta beslut och för handling. Några med hennes hjälp valde partners åt sig själva - i affärer, äktenskap. En av de största numerologerna var Jean Boden (1529-1594), politiker, filosof, nationalekonom. Visas och Joseph Just Scaliger (1540-1609), filolog, historiker, en av grundarna av modern historisk kronologi. Tillsammans med teologen och munken Dionysius Petavius de beräknade retroaktivt ett antal historiska datum i tidigare historia och digitaliserade de fakta och händelser som var kända för dem.

Exemplet med Ryssland visar hur svårt och svårt det var att införa aritmetisering i samhällets medvetande.

1703 kan anses vara det år då denna process började i landet. Sedan publicerades Leonty Magnitskys bok "Aritmetik". Själva författarens gestalt är fiktiv. Detta är bara en översättning av västerländska manualer. På grundval av denna lärobok organiserade Peter den store skolor för sjöofficerare och navigatörer.

En av bokens sommarstugor - problem nummer 33 - används än idag på vissa läroanstalter.

Det lyder så här:”De frågade en viss lärare hur många elever han hade, eftersom de ville ge honom hans son som lärare. Läraren svarade: "Om så många lärjungar kommer till mig som jag har, och hälften så många och en fjärdedel så många, och din son, så ska jag ha hundra lärjungar." Hur många elever hade han?"

Nu är det här problemet enkelt löst: x + x + 1 / 2x + 1 / 4x + 1 = 100.

Magnitsky skriver inte något liknande, för redan på 1700-talet uppfattades inte 1/2 och ¼ som siffror. Han löser problemet i fyra steg och försöker gissa svaret enligt den så kallade "False Regeln".

All matematik i Europa var på denna nivå. Boken "Matematisk uppfinningsrikedom" av B. Kordemsky säger att den matematiska boken av Leonardo av Pisa fick stor spridning och under mer än två århundraden var den mest auktoritativa kunskapskällan inom siffror (13-16 århundraden). Och historien ges om hur Fibonaccis höga rykte förde Romarrikets kejsare Fredrik II till Pisa 1225 med en grupp matematiker som ville testa Leonardo offentligt. Han fick uppdraget: "Hitta den mest kompletta kvadraten som förblir en komplett kvadrat efter att ha ökat den eller minskat den med fem."

A / 2 + 5 = B / 2, A / 2 - 5 = C / 2

Detta är en mycket svår uppgift, men Leonardo påstås ha löst det på några sekunder.

Redan på 1700-talet visste de inte hur de skulle arbeta med ½ plus ¼, men Leponardo och publiken fungerar utmärkt med dem. Men bråktal som tal kändes inte igen förrän i slutet av 1700-talet.

Först då gjorde Joseph Louis Lagrange det. Vad är problemet? Fredrik II och hela historien uppfanns av samme Luke i hans bok "Entertaining Mathematics".

Euklid krediteras med upptäckter inom matematiken som gjordes många århundraden senare. Till exempel, kvadrera triangeln.

Men på 1500-talet skrev den ungerske ingenjören och arkitekten Johann Certe till den store Albrecht Durer:”Jag skickar dig en sats om en triangel med tre ojämna vinklar. Jag hittade en underbar lösning … Men att göra en kvadrat med samma yta ur en triangel är en konst. Jag antar att du förstår det mycket väl."

Detta betyder att Cherte på 1500-talet uppfann kvadraturen av en triangel, som, det verkar, löstes av Euclid för många århundraden sedan, och alla, verkar det som, vet hur man letar efter arean av en triangel.

Det hela handlar om vad 1500-talets matematiker gjorde under gamla namn. Det fanns så kallade Euklidkommentatorer, och de sägs nu ha fulländat honom. Faktum är att de arbetade under namnet Euclid, under varumärkets namn. Och detta är inte det enda fallet.

Redan på 1700-talet förklarades en viss grekisk Pelamed allts uppfinnare. Han uppfann siffror, schack, dam, tärningar och många andra saker. Det var först i slutet av 1800-talet som man trodde att schack uppfanns i Indien.

Vissa verk som åtnjöt auktoritet och popularitet i antiken och inte överlevde eller kom ner i form av separata fragment, väckte förfalskarnas uppmärksamhet på grund av författarens efternamn eller de ämnen som beskrivs i dem. Ibland handlade det om en hel serie sekventiella förfalskningar av vilken komposition som helst, inte alltid tydligt kopplade till varandra. Ett exempel är Ciceros olika skrifter, vars många förfalskningar gav upphov till heta debatter i England i slutet av 1600-talet och början av 1700-talet om själva möjligheten att förfalska de primära källorna till verklig historisk kunskap. Ovidius skrifter under tidig medeltid användes för att inkludera de mirakulösa berättelserna de innehöll i biografier om kristna helgon. På 1200-talet tillskrevs Ovid själv ett helt verk. Den tyske humanisten Prolucius på 1500-talet lade till ett sjunde kapitel till Ovidius "Kalender". Målet var att bevisa för motståndare att, i motsats till poetens vittnesbörd, innehöll hans verk inte sex utan sju kapitel.

De flesta av förfalskningarna i fråga var ett slags återspegling av det speciella med inte bara den politiska kampen, utan också den rådande atmosfären av bluffboomen. Åtminstone ett sådant exempel låter en bedöma dess omfattning. Enligt forskare såldes mer än 12 000 manuskript, brev och autografer av kända personer i Frankrike mellan 1822 och 1835, 11 000 såldes till försäljning på auktion 1836-1840, cirka 15 000 under 1841-1840, och 6-129 Några av dem stals från offentliga och privata bibliotek och samlingar, men huvuddelen var förfalskningar. En ökad efterfrågan gav upphov till ett ökat utbud, och produktionen av förfalskningar var före förbättringen av metoderna för att upptäcka dem vid denna tid. Framgångarna för naturvetenskaperna, särskilt kemin, som gjorde det möjligt att i synnerhet bestämma åldern på det aktuella dokumentet, nya, ännu ofullkomliga metoder för att avslöja bluffar användes snarare som ett undantag.

Så fort nya metoder dyker upp kommer nya utmaningar. Det pågår ett slags lopp. Som redan nämnts började de beräkna allt, upp till planetens storlek. Columbus ansåg att jorden var tre gånger mindre än den egentligen är. Ett fantastiskt faktum. Trots allt trodde man att den grekiske matematikern och astronomen Erastophenes från Cyrene (276-194 f. Kr.) exakt beräknade planetens diameter. Varför visste inte Columbus detta? För Erastofen var en del av 1500-talsprojektet. Det var dessa människor som tog de gamla namnen.

En av 1900-talets största filosofer, O. Spengler, lade fram tesen att grekisk och modern matematik inte har något gemensamt, att de i huvudsak är två olika matematiker, olika sätt att tänka. Det är skillnaden i sätten att tänka som avslöjas vid 1500- och 1600-talets skift.

För att förstå innebörden av förändringar i vetenskap, liv, i mänskligt medvetande som genereras av modern matematik, hjälper K. Marx karakterisering av teknologier som ett allmänt socialt fenomen:”Teknik avslöjar människans aktiva förhållande till naturen - den direkta processen för produktion av hans liv, och samtidigt hans sociala livsvillkor och de andliga idéer som härrör från dem." Nästan hundra år senare definierar en av klassikerna inom civilisationsmetodik, A. J. Toynbee, teknik som en "påse med verktyg".

Matematik blev orsaken till den oöverträffade förbättringen av dessa "verktyg" och förändrade civilisationens gång.