Innehållsförteckning:

Vad är fraktaler: skönheten i matematik och oändlighet
Vad är fraktaler: skönheten i matematik och oändlighet

Video: Vad är fraktaler: skönheten i matematik och oändlighet

Video: Vad är fraktaler: skönheten i matematik och oändlighet
Video: Topp 8 fotbollsspelare med högst lön i Europa (2019) | Fotboll24 2024, Mars
Anonim

Fraktaler har varit kända i ett sekel, har studerats väl och har många tillämpningar i livet. Men detta fenomen är baserat på en mycket enkel idé: en mängd former, oändliga i skönhet och variation, kan erhållas från relativt enkla strukturer med bara två operationer - kopiering och skalning.

Vad har ett träd, en havsstrand, ett moln eller blodkärl i vår hand gemensamt? Vid första anblicken kan det tyckas att alla dessa föremål inte har något gemensamt. Men i själva verket finns det en egenskap hos strukturen som är inneboende i alla de listade objekten: de är sig själva. Från grenen, såväl som från trädets stam, finns det mindre grenar, från dem - även mindre, etc., det vill säga grenen är som hela trädet.

Cirkulationssystemet är arrangerat på ett liknande sätt: arterioler avgår från artärerna och från dem - de minsta kapillärerna genom vilka syre kommer in i organen och vävnaderna. Låt oss titta på satellitbilder av havets kust: vi kommer att se vikar och halvöar; låt oss ta en titt på det, men från fågelperspektiv: vi kommer att se vikar och uddar; Låt oss nu föreställa oss att vi står på stranden och tittar på våra fötter: det finns alltid småsten som sticker ut i vattnet längre än resten.

Det vill säga att kustlinjen förblir lik sig själv när den zoomas in. Den amerikanske (även om han är uppvuxen i Frankrike) matematikern Benoit Mandelbrot kallade denna egenskap hos objekt fraktalitet, och sådana objekt själva - fraktaler (från latinets fractus - brutna).

Fraktaler
Fraktaler

Vad är en fraktal?

Detta begrepp har ingen strikt definition. Därför är ordet "fractal" inte en matematisk term. Vanligtvis är en fraktal en geometrisk figur som uppfyller en eller flera av följande egenskaper: • Den har en komplex struktur vid valfri förstoring (till skillnad från till exempel en rät linje, vars alla delar är den enklaste geometriska figuren - en linjesegmentet). • Är (ungefär) sig själv lik. • Har en bråkdel Hausdorff (fraktal) dimension, som är större än den topologiska. • Kan byggas med rekursiva procedurer.

Geometri och algebra

Studiet av fraktaler vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet var snarare episodiskt än systematiskt, eftersom tidigare matematiker främst studerade "bra" föremål som var mottagliga för forskning med hjälp av allmänna metoder och teorier. 1872 konstruerar den tyske matematikern Karl Weierstrass ett exempel på en kontinuerlig funktion som inte går att differentiera någonstans. Men dess konstruktion var helt abstrakt och svår att uppfatta.

Därför uppfann svensken Helge von Koch 1904 en kontinuerlig kurva, som inte har någon tangent någonstans, och den är ganska enkel att rita. Det visade sig att det har egenskaperna hos en fraktal. En av varianterna av denna kurva kallas "Koch-snöflingan".

Idéerna om figurernas självlikhet plockades upp av fransmannen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrots framtida mentor. 1938 publicerade han sin artikel "Plane och rumsliga kurvor och ytor, bestående av delar som liknar helheten", som beskriver en annan fraktal - Lévy C-kurvan. Alla dessa ovanstående fraktaler kan villkorligt hänföras till en klass av konstruktiva (geometriska) fraktaler.

Vegetation
Vegetation

En annan klass är dynamiska (algebraiska) fraktaler, som inkluderar Mandelbrot-mängden. De första studierna i denna riktning började i början av 1900-talet och förknippas med namnen på de franska matematikerna Gaston Julia och Pierre Fatou. År 1918 publicerades Julias nästan tvåhundra sidor långa memoarer, ägnade åt iterationer av komplexa rationella funktioner, där Julias uppsättningar beskrevs - en hel familj av fraktaler som är nära besläktade med Mandelbrot-uppsättningen. Detta verk belönades med den franska akademins pris, men det innehöll inte en enda illustration, så det var omöjligt att uppskatta skönheten i de upptäckta föremålen.

Trots att detta arbete förhärligade Julia bland dåtidens matematiker, glömdes det snabbt bort. Det var inte förrän ett halvt sekel senare som datorer blev uppmärksammade igen: det var de som gjorde rikedomen och skönheten i fraktalvärlden synlig.

Fraktaldimensioner

widget-intresse
widget-intresse

Som du vet är dimensionen (antal mått) för en geometrisk figur antalet koordinater som krävs för att bestämma positionen för en punkt som ligger på denna figur.

Till exempel bestäms positionen för en punkt på en kurva av en koordinat, på en yta (inte nödvändigtvis ett plan) av två koordinater, i det tredimensionella rummet av tre koordinater.

Ur en mer generell matematisk synvinkel kan du definiera dimensionen på detta sätt: en ökning av linjära dimensioner, säg två gånger, för endimensionella (ur en topologisk synvinkel) objekt (segment) leder till en ökning i storlek (längd) två gånger, för tvådimensionell (kvadrat) leder samma ökning av linjära dimensioner till en ökning av storlek (area) med 4 gånger, för tredimensionell (kub) - med 8 gånger. Det vill säga, den "verkliga" (så kallade Hausdorff) dimensionen kan beräknas som förhållandet mellan logaritmen för en ökning av "storleken" på ett objekt och logaritmen för en ökning av dess linjära storlek. Det vill säga för segmentet D = log (2) / log (2) = 1, för planet D = log (4) / log (2) = 2, för volymen D = log (8) / log (2)) = 3.

Låt oss nu beräkna dimensionen på Koch-kurvan, för vars konstruktion enhetssegmentet är uppdelat i tre lika delar och mittintervallet ersätts av en liksidig triangel utan detta segment. Med en ökning av de linjära dimensionerna för minimisegmentet tre gånger ökar längden på Koch-kurvan i log (4) / log (3) ~ 1, 26. Det vill säga dimensionen på Koch-kurvan är bråkdel!

Vetenskap och konst

1982 utkom Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature", där författaren samlade och systematiserade nästan all den information som fanns på den tiden om fraktaler och presenterade den på ett enkelt och lättillgängligt sätt. I sin presentation lade Mandelbrot huvudvikten inte på krångliga formler och matematiska konstruktioner, utan på läsarnas geometriska intuition. Tack vare datorgenererade illustrationer och historiska berättelser, med vilka författaren skickligt spädde ut den vetenskapliga komponenten i monografin, blev boken en bästsäljare, och fraktaler blev känd för allmänheten.

Deras framgång bland icke-matematiker beror till stor del på att man med hjälp av mycket enkla konstruktioner och formler som en gymnasieelev kan förstå, erhålls bilder av fantastisk komplexitet och skönhet. När persondatorer blev tillräckligt kraftfulla dök till och med en hel trend inom konst upp - fraktalmålning, och nästan vilken datorägare som helst kunde göra det. Nu på Internet kan du enkelt hitta många webbplatser dedikerade till detta ämne.

Koch kurva
Koch kurva

Krig och fred

Som noterats ovan är ett av de naturliga föremålen med fraktala egenskaper kustlinjen. En intressant historia är kopplad till honom, eller snarare, med ett försök att mäta dess längd, som låg till grund för Mandelbrots vetenskapliga artikel, och som också beskrivs i hans bok "The Fractal Geometry of Nature".

Detta är ett experiment som iscensatts av Lewis Richardson, en mycket begåvad och excentrisk matematiker, fysiker och meteorolog. En av inriktningarna för hans forskning var ett försök att hitta en matematisk beskrivning av orsakerna och sannolikheten för en väpnad konflikt mellan de två länderna. Bland parametrarna som han tog hänsyn till var längden på den gemensamma gränsen för de två krigförande länderna. När han samlade in data för numeriska experiment fann han att uppgifterna om den gemensamma gränsen mellan Spanien och Portugal i olika källor är mycket olika.

Detta fick honom att upptäcka följande: längden på ett lands gränser beror på med vilken linjal vi mäter dem. Ju mindre skala, desto längre är gränsen. Detta beror på att det med en högre förstoring blir möjligt att ta hänsyn till fler och fler kustkrökar, som tidigare ignorerades på grund av mätningarnas grovhet. Och om, med varje ökning av skalan, de tidigare oförklarade böjningarna av linjerna öppnas, visar det sig att längden på gränserna är oändlig! Det är sant att detta inte händer i verkligheten - noggrannheten i våra mätningar har en ändlig gräns. Denna paradox kallas Richardson-effekten.

Fraktaler
Fraktaler

Konstruktiva (geometriska) fraktaler

Algoritmen för att konstruera en konstruktiv fraktal i det allmänna fallet är som följer. Först och främst behöver vi två lämpliga geometriska former, låt oss kalla dem en bas och ett fragment. I det första skedet avbildas grunden för den framtida fraktalen. Sedan ersätts några av dess delar med ett fragment taget i lämplig skala - detta är den första iterationen av konstruktionen. Sedan ändrar den resulterande figuren igen vissa delar till figurer som liknar ett fragment osv. Om vi fortsätter denna process på obestämd tid, får vi i gränsen en fraktal.

Låt oss överväga denna process med hjälp av Koch-kurvan som ett exempel. Som grund för Koch-kurvan kan du ta vilken kurva som helst (för "Koch-snöflingan" är det en triangel). Men vi kommer att begränsa oss till det enklaste fallet - ett segment. Ett fragment är en streckad linje som visas överst i figuren. Efter den första iterationen av algoritmen, i detta fall, kommer det initiala segmentet att sammanfalla med fragmentet, sedan kommer vart och ett av dess ingående segment att ersättas av en streckad linje, liknande ett fragment, etc. Figuren visar de första fyra stegen av denna process.

Fraktaler
Fraktaler

På matematikens språk: dynamiska (algebraiska) fraktaler

Fraktaler av denna typ uppstår i studien av olinjära dynamiska system (därav namnet). Uppförandet av ett sådant system kan beskrivas av en komplex olinjär funktion (polynom) f (z). Ta en startpunkt z0 på det komplexa planet (se sidofältet). Betrakta nu en sådan oändlig talföljd på det komplexa planet, vart och ett av följande erhålls från det föregående: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), … zn + 1 = f (zn).

Beroende på initialpunkten z0 kan en sådan sekvens bete sig annorlunda: tenderar till oändlighet som n -> ∞; konvergera till någon slutpunkt; cykliskt ta ett antal fasta värden; Mer komplexa alternativ är också möjliga.

Komplexa tal

Ett komplext tal är ett tal som består av två delar - reella och imaginära, det vill säga den formella summan x + iy (här är x och y reella tal). jag är den så kallade. imaginär enhet, det vill säga ett tal som uppfyller ekvationen i ^ 2 = -1. De grundläggande matematiska operationerna definieras över komplexa tal - addition, multiplikation, division, subtraktion (endast jämförelseoperationen är inte definierad). För att visa komplexa tal används ofta en geometrisk representation - på planet (det kallas komplex), den reella delen läggs på abskissan och den imaginära delen på ordinatan, medan det komplexa talet kommer att motsvara en punkt med kartesisk koordinater x och y.

Således har varje punkt z i det komplexa planet sin egen karaktär av beteende under iterationer av funktionen f (z), och hela planet är uppdelat i delar. I det här fallet har punkterna som ligger på gränserna för dessa delar följande egenskap: för en godtyckligt liten förskjutning förändras deras beteende kraftigt (sådana punkter kallas bifurkationspunkter). Så det visar sig att uppsättningar av punkter med en specifik typ av beteende, såväl som uppsättningar av bifurkationspunkter, ofta har fraktala egenskaper. Dessa är Julia-mängderna för funktionen f (z).

Familj av drakar

widget-intresse
widget-intresse

Genom att variera basen och fragmentet kan du få en fantastisk variation av konstruktiva fraktaler.

Dessutom kan liknande operationer utföras i tredimensionellt utrymme. Exempel på volumetriska fraktaler är Mengers svamp, Sierpinski-pyramiden och andra.

Drakfamiljen kallas också konstruktiva fraktaler. Ibland kallas de vid upptäckarnas namn "drakar från Highway-Harter" (i sin form liknar de kinesiska drakar). Det finns flera sätt att rita denna kurva. Den enklaste och mest intuitiva av dem är detta: du måste ta en tillräckligt lång pappersremsa (ju tunnare papper, desto bättre) och vika det på mitten. Böj den sedan två gånger igen i samma riktning som första gången.

Efter flera upprepningar (vanligtvis efter fem eller sex veck blir remsan för tjock för att snyggt böjas ytterligare), måste du böja remsan tillbaka och försöka bilda 90˚ vinklar vid vecken. Då kommer drakens kurva att visa sig i profil. Naturligtvis kommer detta bara att vara en approximation, som alla våra försök att avbilda fraktala föremål. Datorn låter dig avbilda många fler steg i denna process, och resultatet är en mycket vacker figur.

Mandelbrot-setet är konstruerat på ett lite annorlunda sätt. Betrakta funktionen fc (z) = z ^ 2 + c, där c är ett komplext tal. Låt oss konstruera en sekvens av denna funktion med z0 = 0, beroende på parametern c kan den divergera till oändlighet eller förbli begränsad. Dessutom bildar alla värden av c för vilka denna sekvens är avgränsad Mandelbrot-uppsättningen. Det studerades i detalj av Mandelbrot själv och andra matematiker, som upptäckte många intressanta egenskaper hos denna uppsättning.

Det ses att definitionerna av Julia- och Mandelbrot-uppsättningarna liknar varandra. Faktum är att dessa två uppsättningar är nära besläktade. Mandelbrot-mängden är nämligen alla värden för den komplexa parametern c för vilken Julia-mängden fc (z) är kopplad (en uppsättning kallas kopplad om den inte kan delas upp i två disjunkta delar, med några ytterligare villkor).

Fraktaler
Fraktaler

Fraktaler och liv

Idag används teorin om fraktaler i stor utsträckning inom olika områden av mänsklig aktivitet. Förutom ett rent vetenskapligt objekt för forskning och den redan nämnda fraktalmålningen, används fraktaler inom informationsteorin för att komprimera grafiska data (här används huvudsakligen fraktalernas självlikhet - trots allt för att komma ihåg ett litet fragment av en ritning och transformationer med vilka du kan få resten av delarna, mycket mindre krävs minne än för att lagra hela filen).

Genom att lägga till slumpmässiga störningar till formlerna som definierar fraktalen kan man erhålla stokastiska fraktaler som mycket rimligt förmedlar några verkliga objekt - reliefelement, ytan av vattenkroppar, vissa växter, som framgångsrikt används inom fysik, geografi och datorgrafik för att uppnå större likhet mellan simulerade objekt och verkliga. Inom elektronik tillverkas antenner som har fraktal form. De tar lite plats och ger signalmottagning av ganska hög kvalitet.

Ekonomer använder fraktaler för att beskriva valutakurskurvor (en egenskap som upptäckts av Mandelbrot). Detta avslutar denna lilla utflykt till fraktalernas fantastiskt vackra och mångsidiga värld.

Rekommenderad: